Точки
,
,
пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые
,
,
– диагоналями полного четырехвершинника.
Пусть
и
– точки пересечения диагонали
с противоположными сторонами
и
, проходящими через третью диагональную точку
. Докажем, что
. (7)
Проектируя точки
,
,
,
на прямую
из центра
, получим:
. (8)
Проектируя точки
,
,
,
на прямую
из центра
, получим:
(9)
(2), (3)
(10)
Но по второму свойству §1
,(11)
(4), (5)
Но при
точки
и
совпадают, а следовательно, совпадают прямые
и
, и точки
,
,
,
оказываются на одной прямой, что противоречит условию. Поэтому
,
(6)
(7)
Заметим, что в полном четырехвершиннике все его вершины равноправны, как равноправны все его диагональные точки. Поэтому справедлива
Теорема 5
. Полный четырехвершинник обладает следующими свойствами:
1) на каждой диагонали имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат диагональные точки, а другой парой – точки пересечения этой диагонали со сторонами, проходящими через третью диагональную точку;
2) на каждой стороне имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат вершины, а другая пара образована диагональной точкой и точкой пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки;
3) через каждую диагональную точку проходит гармоническая четверка прямых, в которой одной парой служат противоположные стороны, а другой диагонали.
Первый пункт этой теоремы дает способ построения четвертой гармонической точки
к упорядоченной тройке точек
,
,
. Через точку
проводим произвольную прямую
, а через точку
– две произвольные прямые
и
. Обозначим:
Примеры реализации межпредметных связей
В современном мире множество отраслей, связанных с химией, например такие, как пищевая, фармацевтическая, тяжёлая промышленность (производство сплавов чёрных и цветных металлов), медицина, фармакология и т.д. Однако все они связаны не только с химией, но и с математикой, так как приходится решать з ...
Из истории становления права как учебной дисциплины
Ценность познания окружающей действительности люди осознали еще в глубокой древности. Например, у египтян и шумеров особо чтили тех, кто умел писать и читать. Эти люди всегда занимали важные посты в государстве и считались носителями мудрости. Первыми учителями в общепринятом понимании этого слова ...
Классификации нарушений слуха
В основу ряда классификаций нарушений слуха положены различные факторы. Одной из наиболее распространенных в дошкольных учреждениях и школах для детей с нарушениями слуха является классификация Л.В. Неймана (1977). В ней учитывается степень поражения слуховой функции и возможности формирования речи ...