Доказательство: ,
. Учитывая, что
получим, что
. Свойство доказано.
20:Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары: .
Доказательство: ,
. Свойство доказано.
30:
Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .
Доказательство: следует из свойства 20. . Свойство доказано.
40:.
Доказательства первого, второго и третьего свойства предложить студентам на самостоятельное изучение.
Замечание. Пусть на прямой заданы точки , тогда
1) тогда и только тогда, когда точки
,
2) тогда и только тогда, когда точки
.
Теоремы о сложном отношении точек и прямых
Теорема 1. При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.
Доказательство. Пусть – проективное преобразование плоскости
, прямая
,
; точки
переходят в отображении
в точки
. Как мы знаем, сужение
есть проективное отображение
. Это отображение вполне определяется упорядоченной парой реперов
, где
,
. Если
– координаты точки
в репере
, то эти же координаты имеет точка
в репере
. Но
,
. Теорема доказана.
Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.
Теорема 2.
Если биекция сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то
– проективное отображение.
Доказательство. Пусть – различные точки прямой
и
их образы в отображении
. Существует единственной проективное отображение
, которое переводит точки
в точки
соответственно.
Воспитание гражданских и патриотических качеств у младших школьников музейными
средствами
Для практического исследования нашей работы мы выбрали СШ № 2 г. Костанай, в которой с 2005 проводится программа по воспитанию гражданского самосознания младших школьников. В
сентябре 2005 года набрали первый класс. По данным психологической службы в основном дети среднего уровня обучаемости, прояв ...
Специфика формирования межкультурной коммуникации при изучении иностранного
языка
В школе содержание гражданского образования реализуется во всех учебных курсах, и в первую очередь, в дисциплинах гуманитарного и естественного циклов. Предметы естественного цикла акцентируют внимание на взаимодействии и взаимозависимости природных, социальных и экономических аспектов жизни общест ...
Современные проблемы технологического образования
школьников
Возможности реализации целей технологического образования связаны с обеспечением активности образовательного пространства на основе научно- методического, кадрового, материально-технического обеспечения и управления развитием педагогического процесса. Одним из важнейших и необходимых условий решени ...