Доказательство:
,
. Учитывая, что
получим, что
. Свойство доказано.
20:Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары:
.
Доказательство:
,
. Свойство доказано.
30:
Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится:
.
Доказательство: следует из свойства 20.
. Свойство доказано.
40:
.
Доказательства первого, второго и третьего свойства предложить студентам на самостоятельное изучение.
Замечание. Пусть на прямой заданы точки
, тогда
1)
тогда и только тогда, когда точки
,
2)
тогда и только тогда, когда точки
.
Теоремы о сложном отношении точек и прямых
Теорема 1. При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.
Доказательство. Пусть
– проективное преобразование плоскости
, прямая
,
; точки
переходят в отображении
в точки
. Как мы знаем, сужение
есть проективное отображение
. Это отображение вполне определяется упорядоченной парой реперов
, где
,
. Если
– координаты точки
в репере
, то эти же координаты имеет точка
в репере
. Но
,
. Теорема доказана.
Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.
Теорема 2.
Если биекция
сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то
– проективное отображение.
Доказательство. Пусть
– различные точки прямой
и
их образы в отображении
. Существует единственной проективное отображение
, которое переводит точки
в точки
соответственно.
Планирование межпредметных связей
Содержание, объем, время и способы использования знаний из других предметов можно определить только на основе планирования. Для этого необходимо тщательное изучение рекомендаций, данных учебными программами в разделах «Межпредметные связи» по каждой учебной теме курса, а также изучение учебных план ...
Развитие детей в возрасте 3-4 года
Для детей с 3х лет одними из самых эффективных упражнений являются комплексы пальчиковой гимнастики, способствующие развитию тонкой моторики. Каждый комплекс рекомендуется изучать и внедрять в течение одной недели, затем включаются следующие. 1) Ладони ребёнка на столе и на счет «раз-два» выполняет ...
Анализ проблемы в современной литературе
Перестройка методической работы в дошкольном учреждении неизбежно ставит перед необходимостью дать правильные ответы на вопросы, чему учат педагогов, какой информацией, какими знаниями, умениями, навыками и в каком объеме должен овладеть педагог – практик сегодня для повышения своего профессиональн ...